证明：令g（x）=f（x）-xx∈（0，1）。
因为：0＜f（x）＜1。
所以：g（0）=f（0）-0=f（0）＞0。
g（1）=f（1）-1＜0。
所以：g（0）g（1）＜0。
因为函数f（x）可微分，故f（x）连续，因此g（x）肯定连续。
根据零点定理，可知，在x∈（0，1）上，至少有一个点满足：
g（ɛ）=0，ɛ∈（0，1）。
即：f（ɛ）-ɛ=0，
f（ɛ）=ɛ。
扩展资料：
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
证明如图所示
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