常数1的 傅里叶变换 为什么=2pi Dirac

傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：

F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dt

f(t) = (1/2π) ∫(∞，-∞) F(ω)e^(iωt)dω

令：f(t)=δ(t)

那么：∫(∞，-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1 

而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞，-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数； 

从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)

设x(n）为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法。

扩展资料：

一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m），即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。

当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k，k为正整数），分为两个N/2项的子序列。

每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2*(N/2）^2=N+N^2/2。

参考资料来源：百度百科--快速傅里叶变换

傅立叶变换对有多种定义形式,如果采用下列变换对,即：
F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dt
f(t) = (1/2π) ∫(∞,-∞) F(ω)e^(iωt)dω
令：f(t)=δ(t),
那么：∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1
而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数；
从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)