f′(x)＝
+1 x
?a x2
＝2a x3
(x＞0)
x2+ax?2a x3
（1）若a=1，f′(x)＝
，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（负值舍去）
x2+x?2 x3
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
∴f′(x)＝
≥0在[1，+∞）上恒成立
x2+ax?2a x3
即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x2+ax-2a
当?
≤1即a≥-2时，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1a 2
当?
＞1即a＜-2时，g(?a 2
)≥0，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2a 2
综上a的取值范围是[-8，1]
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0
即lnx＞
?1 x
(x＞1)1 x2
取x＝
(n∈N*)n+1 n
∵
＞1n+1 n
∴ln
＞n+1 n
?n n+1
＝n2 (n+1)2
n (n+1)2
∴
n i＝1
＜lni (i+1)2
+ln2 1
+…+ln3 2
＝ln(n+1)n+1 n
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