急！！！！！！！证明任意一个n阶方阵可以表示成一个对称矩阵和反对称矩阵之和

任意一个n阶方阵A都可以表示为一个n阶对称矩阵与一个n阶反对称矩阵之和是正确的。

AT表示A的转置矩阵：

令1=（A+AT）/2，C=（A-AT）/2，则：

A=1+C。

其中1是对称矩阵（1T=1）。

主要优势：

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。

证明：

为便于书写，用A'表示A的转置矩阵：

令B = (A+A')/2，C = (A-A')/2，则

A = B + C

其中B是对称矩阵(B'=B)

C是反对称矩阵(C'=-C)

证毕

例如：

解：

AT表示A的转置矩阵：

令1=（A+AT）/2，C=（A-AT）/2，则

A=1+C

其中1是对称矩阵（1T=1）

C是反对称矩阵（CT=-C）

所以任意一个n阶方阵A都可以表示为一个n阶对称矩阵与一个n阶反对称矩阵之和是正确的。

扩展资料：

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

(A')'=A

(A+B)'=A'+B'

(kA)'=kA'(k为实数)

(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

参考资料来源：百度百科-对称矩阵

对称矩阵定义是 A=A的转置
反对称矩阵定义是 A= - A的转置

转置你知道吧？ 一个矩阵行列互换就变成它的转置矩阵

或者说 ,反对称矩阵是这样一个矩阵
它的第I行和第I列 各数 绝对值相等，符号相反

1 基本性质定义1 设A是一个n阶方阵,如果AT=-A,则称A为反对称矩阵.性质1 任何一个n阶矩阵A,均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C.证明 见[1].性质2 若A是反对称矩阵,则其主对角线上的元素全为零.证明 由定义1可知成立.性质3 设A,B为n阶反对称矩阵,k为常数,l为正整数,则:(1)A±B,kA,AB-BA为反对称矩阵.(2)AB为对称矩阵的充要条件为AB=BA.(3)当l为奇数时,Al为反对称矩阵,当l为偶数时,Al为对称矩阵.证明 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可.性质4 设A是任一n阶矩阵,则A-AT…

具体请看http://www.cnki.com.cn/Article/CJFD2003-GXJB200303005.htm

对任意的n阶方阵A，令B = (A+A')/2，C = (A-A')/2，则容易验证
A = B + C
并且B是对称的(B'=B)，C是反对称的(C'=-C)。
这里X'表示X的转置。