若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而 y= f(x) x 在I上是减函数，则称y=f（x）在I上

2024-11-24 14:13:46

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回答1：

（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），
即x² +（cotθ-1）x+b=x² -（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函数，则 θ=kπ+

(k∈Z)，b＞0 ，
（2）当cotθ≥1时，f（x）=x² +（cotθ-1）x+b的对称轴是 x=-

cotθ-1

≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函数，
考察函数 g(x)=

f(x)

=x+

+(cotθ-1) ，
当

≥1 ，即b≥1时，设0＜x₁ ＜x₂ ≤1，则 g( x 1 )-g( x 2 )=[ x 1 +

x 1

+(cotθ-1)]-[ x 2 +

x 2

+(cotθ-1)]=

( x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -b)

x 1 x 2

∵0＜x₁ ＜x₂ ≤1，∴x₁ -x₂ ＜0，0＜x₁ x₂ ＜1≤b，
∴ g( x 1 )-g( x 2 )=

( x 1 - x 2 )( x 1 x 2 -b)

x 1 x 2

＞0
即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
（3）当 0＜

＜1 ，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是单调函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．
综上所述0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”