∑(2n+1)x^n的和函数

∑（∞，n→0）(2n+1)x^n

R=lim|2n-1/2n+1|=1

x=1时∑（∞，n→0）2n+1)发散，

x=-1时∑（∞，n→0）(-1)^n(2n+1)也发散，

所以收敛域为（-1，1）

令s(x)=∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=∑（∞，n→1）2nx^n+∑（∞，n→0）x^n

再令∑（∞，n→1）2nx^n=s1(x)

s1(x)=2x∑（∞，n→1）nx^(n-1)

=2x∑（∞，n→1）(x^n)'

=2x(∑（∞，n→1）x^n)'

=2x[x/(1-x)]'

=2x/(1-x)^2

而∑（∞，n→0）x^n=1/(1-x)

所以s(x)=2x/(1-x)^2+1/(1-x)=(1+x)/(1-x)^2

∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=(1+x)/(1-x)^2, x属于（-1，1）

扩展资料：

函数展开成幂级数的一般方法是：

1、直接展开：

对函数求各bai阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。

2、通过变量代换来利用已知的函数展开式：

例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。

3、通过变形来利用已知的函数展开式：

例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数，我们就可以将函数写成 x−1 的函数，然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式：

例如 coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。

5，利用级数的四则运算：

例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。

简单计算一下即可，答案如图所示