（1）连接AC₁，易知AC₁=A₁C₁
又AB₁=A₁B₁，∴△AB₁C₁≌△A₁B₁C₁(sss)，
∴AC₁⊥B₁C₁。∴B₁C₁⊥面AA₁C₁，B₁C₁⊥AA₁
（2）取AC中点N，连接C₁N，易知∠A₁C₁N=90°
∴C₁A₁、C₁B₁、C₁N互相垂直
即以C₁A₁、C₁B₁、C₁N分别为x、y、z轴。
设C₁A₁=x，则平行六面体体积V=x·√3x·(√3/2)x=12
∴C₁A₁=2
各点坐标有A(1,0,√3)、B(-1,2√3,√3)、C(-1,0,√3)、D(1,-2√3,√3)、
A₁(2,0,0)、B₁(0,2√3,0)、C₁(0,0,0)、D₁(2,-2√3,0)，M(0,1,0)
AM=(-1,1,-√3)，DA₁=(1,2√3,-√3)，A₁C₁=(-2,0,0)，C₁D=(1,-2√3,√3)
平面DA₁C₁法向量n=(x,y,z)满足
(x,y,z)(1,2√3,-√3)=0，(x,y,z)(-2,0,0)=0，(x,y,z)(1,-2√3,√3)=0
可得法向量n=(0,1,2)，MA=(1,-1,√3)
n与MA的余弦cosθ=(0,1,2)(1,-1,√3)/[√(1+2²)√(1+1+√3²)]=(2√3-1)/5
即所求直线与面的夹角的正弦值为(2√3-1)/5
另附
蓝框线图为长方体
(I)设AA1=AC=a,则AB1=A1B1=2a,
∠AA1C1=π/3，A1C1=AC=a,
所以AC1=a,
A1C1⊥B1C1,
所以B1C1=√3a.
连接B1D1交A1C1于O1,在平行六面体AC1中，A1O1=O1C1=a/2,
所以AO1⊥A1C1,AO1=√3a/2，
B1O1^2=B1C1^2+O1C1^2=13a^2/4,
所以AO1^2+B1O1^2=4a^2=AB1^2,
所以AO1⊥BO1,
所以AO1⊥平面A1B1C1,
所以B1C1⊥AA1.
(II)S△A1B1C1=√3a^2/2，
V(ABCD-A1B1C1D1)=√3a^2*AO1=12,AO1=4√3/a^2=√3a/2.a=2.
设AD的中点为N,连C1N,则C1N∥=MA,作NP⊥平面A1C1D于P,连C1P.则∠NPC1是AM与平面A1C1D所成的角。
AM^2=AO1^2+O1M^2=3+1=4,AM=2,
DC1=AB1=4,
由(I),B1C1⊥对角面AA1C1C,
所以B1C^2=B1C1^2+C1C^2=16,
所以A1D=B1C=4=DC1,
所以DO1⊥A1C1,DO1=√15，
S△A1C1D=√15，
V(N-A1C1D)=(1/2)V(A-A1C1D)=(1/2)V(D-AA1C1)=(1/12)V(ABCD-A1B1C1D1)=2,
(1/3)√15*NP=2,NP=6/√15，
sin∠NC1P=NP/NC1=3/√15=√15/5.为所求。
应该要用到等体积法吧
坐标法试试
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