已知：a,b,c,d为正有理数，且满足aˇ4+bˇ4+cˇ4+dˇ4=4abcd。求证a=b=c=d

解法1.
此题是
a2+b2 >=2ab
当等号成立时，a＝b
这个应用的推广

a4+b4+c4+d4＞=4abcd，当a=b=c=d时成立。

解法2.
a4+b4+c4+d4=4abcd
a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2
(a2-b2)2+(c2-d2)2=-2(ab-cd)2
(a2-b2)2+2(ab-cd)2+(c2-d2)2=0
(a2-b2)2>=0,2(ab-cd)2>=0,(c2-d2)2>=0
所以，
a2=b2,ab=cd,c2=d2
a=b,ab=cd,c=d
a=b=c=d.

解法3
a4+b4+c4+d4-4abcd=0
(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0
(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+2(a2b2-2abcd+c2d2)=0
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0
由于平方数都大于或等于0，且a、b、c、d>0，所以由上式可知：
(a2-b2)2=0，可得：a2=b2，即a=b，
(c2-d2)2=0，可得：c2=d2，即c=d，
2(ab-cd)2=0，可得：ab=cd；
由a=b，c=d，ab=cd可得：a=b=c=d，

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0

a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

a^2-b^2=0
c^2-d^2=0
ab-cd=0

当a、b、c、d四个数同号时，
a=b=c=d

a4+b4+c4+d4-4abcd=0
(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0
(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+2(a2b2-2abcd+c2d2)=0
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0
由于平方数都大于或等于0，且a、b、c、d>0，所以由上式可知：
(a2-b2)2=0，可得：a2=b2，即a=b，
(c2-d2)2=0，可得：c2=d2，即c=d，
2(ab-cd)2=0，可得：ab=cd；
由a=b，c=d，ab=cd可得：a=b=c=d

不会