解:
连接DF,ED.
∵BE⊥AC,CF⊥AB.
∴RT△CFB,RT△EBC
又∵D是斜边BC的中点.
∴DF=DE(定理:RT△斜边中线是斜边的一半).
∴等腰△DFE.
∵M是EF中点.
∴DM⊥EF(定理:三线合一).
解：连接DE，DF
根据已知，得到 ∠BEC=∠BFC=90度
从而 四点B，C，E，F共圆[同侧的四个点组成的两顶角为直角，则这四个点共圆]
则有 BC是直径，D是圆心，DE。DF是圆的半径
从而 DE=DF ①
又 ME=MF DM是公共边 ②
由①②得 △DME≌△DMF[边边边]
从而 ∠DME=∠DMF ③
又 ∠DME+∠DMF=180度 ④
由③④得 ∠DME=∠DMF=90度
从而 DM⊥EF
解：连接DF、DE，因为DE、DF分别是直角三角形EBC和直角三角形FBC的公共斜边BC的中线，
所以：DE=DE=BC/2，又因为点DM是EF的中线，所以DM垂直于EF。
利用三线合一。。
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