需运用十字相乘的练习题【含答案】

2025-02-21 11:59:46

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回答1：

另外，形如2X2表示的是2X的平方例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3 2 －1 1×(－1)+2×(－3) =－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x2－7x－5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5). 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5). 例3 把5x2+6xy－8y2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y) 2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1). 1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 三、课堂练习 1.用十字相乘法分解因式： (1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2； (3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6； (5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27. 2.把下列各式分解因式： (1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35； (3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2. 答案： 1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)； (3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)； (5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9). 2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)； (3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a). 四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题： (1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1 在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2 两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b. (2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项. (3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数. 2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式. 3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4. 五、作业 1.用十字相乘法分解因式： (1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6； (3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6； (5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2； (7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2. 2．把下列各式分解因式： (1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35； (3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9 (5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10； (7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2. 答案： 1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)； (3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2); (5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n); (7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n). 2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7); (3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3); (5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2); (7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).参考资料： http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=269xue

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