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用夹逼定理求“1⼀2·3⼀4·5⼀6…·（2n-1)⼀2n”的极限

2025-01-31 19:48:07

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回答1：

根据(k+1)^2>k(k+2)==>k/(k+1)<(K+1)/(k+2) 推广有
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]<2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
代入下面的等式里，有
[(2n-1)!!/(2n)!!]^2={1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]}^2
=1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]
<1*3*……*(2n-1)/[2*4*……*2n]*
2*4*……*2n/3*5*……*(2n+1)
=1/(2n+1).
所以，0＜(2n-1)!!/(2n)!!<根号（1/(2n+1)）趋于0，当n趋于∞。
得证！