求微分方程y✀+y=e^(-x)满足初始条件 y(0)=2的特解.

微分方程y'+y=e^(-x)满足初始条件 y(0)=2的特解为y=(x+2e)/e^x。

解：已知y'+y=e^(-x)，

即e^x(y'+y)=1。

而e^x(y'+y)=(y*e^x)'，

因此e^x(y'+y)=1可变换为，

(y*e^x)'=1，

等式两边同时积分可得，

y*e^x=x+C，即y=(x+C)/e^x。

又y(0)=2，则求得C=2e，

因此该特解为y=(x+2e)/e^x。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

e^x(y'+y)=1
(ye^x)'=1
两边积分：ye^x=x+C
y=e^(-x)(x+C)
令x=0：2=C
所以y=e^(-x)(x+2)

明显两边同乘以e^x
得到y'e^x+e^xy=1;
即(ye^x)'=1
通解为 ye^x=x+C
代入得2*1=0+C 得C=2
方程为ye^x=x+2

简单计算一下即可，答案如图所示

y'+y= e^(-x)
y = (Ax+B)e^(-x)
y(0) =2
B = 2
y= (Ax+2)e^(-x)
y' =(-Ax-2 +A)e^(-x)
y'+y= e^(-x)
(-Ax-2 +A)e^(-x) + (Ax+2)e^(-x) = e^(-x)
Ae^(-x) = e^(-x)
=>A =1
ie
y= (x+2)e^(-x)