中科院数学研究机关有个不成文的规定：“凡是涉及费马大定理和哥德巴赫猜想的文章,必须经过至少两名大学数学教授的推荐”,否则,他们不予受理.我的论文,高于“两名大学数学教授的推荐”,初稿已经发表在2000年第4期《科学》杂志,题目是：《费马大定理与丢番图数学命题的婚礼》.
《科学》杂志是具有国际学术权威性的刊物,一般人看不到或者不去看.现在,为了让一般群众都能了解什么是费马大定理,点燃群众性的“数学热情”；现重新改写,使它更加通俗易懂,更加贴近群众；使它从高深的和神圣的“数学殿堂”中走出来,让广大群众一睹它的真面目.这就是大数学家陈省身大师所提倡的“通俗数学”.
陈省身大师已逝.他的两个愿望我们应当牢记：一、希望数学走进千家万户；二、希望中国成为21世纪的“数学大国”.
（一）
什么是费马大定理的“美妙证明”?我们得从头说起.
皮埃尔��费马（Fermat）是十七世纪法国一位业余数学家,他本人职业是律师.1637年他在阅读《丢番图著作》（Diuphantus）第八命题时,他在书的空白处写下一段话,他写道：
“将一个立方数分为两个立方数,将一个四次幂或一般高于二次幂的数,分为两个同次幂的数,这是不可能的.”（重点号是笔者所加）,他又说：“关于此,我确信已经发现了一种美妙的证明,可惜这里空白太小,写不下.”
费马死后三百多年,人们承认他头脑中的那个“美妙证明”,故称之为定理,而不是猜想,更不是一般的称之为数学命题.可是,经过三百多年的时间,却没有一个人能够“破译”出费马的“美妙证明”,因而费马大定理成为了世界顶级数学难题.
费马大定理用数学的语言表达出来,应当是：An+Bn≠Cn(当n≥3时),或者说：An+Bn=Cn(当n≥3时)没有整数解.
1994年英国数学教授威尔斯（Wiles）宣称他证明了费马大定理.1996年出席了在德国召开的“世界数学大会”,领到了德国颁发的数学奖金（为费马大定理设立的专项奖金）,他的论文长达140页(有说200页).事后,美国著名数学教授Kenneth A Ribet撰文《费马的最后抵抗》（《科学》杂志1998年2月号）提出了质疑,他指出：所有数学家一致认为,威尔斯（Wiles）的证明太复杂,太现代化了,不可能是费马当年在页边空白处写下的那一段话时脑中所想到的证明.二者必居其一：要么是费马自己弄错了；要么就真的还有一个简单而巧妙的证明等待数学家们去发现.
这段话讲得对极了.
（二）
费马大定理的巧妙证明,被我发现了.可是花去了我二十多年的时间,走了不少的弯路.后来拜读了重庆师范学院方镇华教授所著《简明数学史》,发现费马大定理,不是放在月宫里的明珠,也不是放在第118层楼的宝石.方镇华老师告诉我：费马当年,世界还处在“初等数学时期”.费马其人,是一普通的业余数学爱好者,本人职业是律师.想必他还没学过什么变量数学、近代数学和现代数学.古希腊时代的丢番图数学、毕达哥拉斯定理和中国孔夫子时代的数学水平相比,似乎还有差距.勾股弦定理早于毕达哥拉斯定理.古希腊的历史,比中国奴隶社会（夏禹时期）要晚一千多年.据美国一位数学家讲：费马当年,对中国古数学很感兴趣,也许可称之为中国古数学的“门生”.美国的数学家讲：研究中国古数学,也许就是打开“未来数学”宝库 “芝麻开门” 的魔咒.美国数学家希望中国人：要珍惜自己的历史,要珍惜自己的宝藏,不要手捧“外国月亮”.中国有足够的条件,可以成为世界“数学大国”.
这些也许是废话,不说不好,说了罗嗦,只好拉倒,书归正传：
我的论文《费马大定理与丢番图数学命题的婚礼》,是把两个数学命题捆绑在一起来研究的.
丢番图第八命题说：将一个平方数分为两个平方数,（如：52=32+42）,用数学语言表达,记为：a2+b2=c2.
费马大定理说：“将一个立方数分为两个立方数,将一个四次幂或一般高于二次幂的数,分为两个同次幂的数,这是不可能的.”
用数学语言表达为：an+bn≠cn,(当n≥3时)；或者说：an+bn=cn,(当n≥3时)；没有整数解.
为什么自然数的平方c2,可分为a2+b2?而3次幂以上的自然数不可能分为两个同次幂的数呢?
费马发现：a2+b2=c2,也就是毕达哥拉斯定理(中国叫勾股弦定理),它所表示的是直角三角形三个边长的关系.毕氏定理,有整数解,如：a=3 b=4 c=5;古希腊人将这种数称之为“毕氏三组数”.
费马想到：按通常情况a2+b2是不等于c2的,应当是a2+b2≠c2.
∵ 若a+b=c, 则(a+b)2=c2,
展开后 a2+2ab+b2=c2,
右端多出 2ab,
∴a2+b2≠c2
可是,为什么在毕氏定理中a2+b2=c2能够成立呢?他终于发现了一个”秘密”.在毕氏定理中,引进了一个补数r,毕氏三数组,应该是毕氏四数组.于是 a+b=c+r,
(a+b)2=(c+r)2,
展开后 a2+2ab+b2=c2+2cr+r2；
∵ 在直角三角形中,2ab=2cr+r2,
两端减等量后得：a2+b2=c2 （简化式）
如：a=3 b=4 c=5 r=2
(3+4)2=(5+2)2
展开后 32+2��3��4+42=52+2��5��2+22,
左端 2��3��4=24
右端 2��5��2+22=24；
∴ 可简化为 32+42=52.
费马大定理的无整数解,或者说不可能分成两个3次幂以上的自然数,这是因为：
an+bn=cn ,(当n≥3时), 在数学中根本不能成立,它脱离了直角三角形那种数与形的特殊关系,即便也引进一个补数r,仍然不能成立.如：
(a+b)3=(c+r)3,展开：
a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3c2r+3cr2+r3
左端的3a2b+3ab2≠右端的3c2r+3cr2+r3
∴ 不能将其简化为：a3+b3=c3,
即a3+b3≠c3,
在引进补数r后,n的幂次越高,则:
an+bn越是不等于cn,
∴an+bn≠cn,(当n≥3时),
或者说：an+bn=cn,(当n≥3时),没有整数解.
费马大定理就是这样简单地被我证明了, 我先是证明“毕达哥拉斯定理”,而最后推证费马大定理,步骤不是很多吧.
结论：费马的“美妙证明”,大概就是因为他发现了a2+b2=c2是一个特殊的简化式,这个简化式,是经过引进一个补数r后,在直角三角形的三个边长关系中,才能简化成a2+b2=c2,若脱离了直角三角形“数和形”的关系,则a2+b2=c2是不能成立的.当然,an+bn=cn,(当n≥3时),就更不能成立,即没有整数解.
（三）
在讲完费马大定理的证明后,我们再回到丢番图第八命题：“将一个平方数C2分为两个平方数a2+b2”,
数学表达式：a2+b2=c2是能够成立的,并且有无限多的整数解,其解法：
（A）公式：当a为奇数时,b=（a2-1）/2,c=（a2+1）/2,r=a-1;
计算数据为：
a 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……
b 4 12 24 40 60 84 112 144 180 ……
c 5 13 25 41 61 85 113 145 181 ……
r 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ……
(A)表中所有的数,都符合: a2+b2=c2.
(B)公式：当a为偶数时,b=a2/4-1,c=a2/4+1;r=a-2.
计算数据为：
a 4 6 8 10 12 14 16 18 ……
b 3 8 15 24 35 48 63 80 ……
c 5 10 17 26 37 50 65 82 ……
r 2 4 6 8 10 12 14 16 ……
(B)表中所有的数,都符合: a2+b2=c2.
我的论文,一共证明了三个问题：
(1) 毕达哥拉斯定理a2+b2=c2为什么能够成立；
(2) 费马大定理：an+bn=cn,(当n≥3时),不能成立,即没有整数解;
(3) 丢番图第八命题（又称丢番图方程）,有无限多的整数解；（见前面运算公式及A、B二表）.
说明：这里（A）、（B）两个公式及其所计算的数据,只供证明丢番图第八命题（丢番图方程）的有解性,作为三个边长都是整数的直角三角形,还有其他解法,别人已经发现.
此外,根据相似三角形可按等比例放大的原理,（A）、（B）两表中的数都可以“等比放大”.于是推导出公式：
(ak)2+(bk)2=(ck)2 (k=1.2.3…………….n)
（相似三角形等比放大原理）
例如：a=5 b=12 c=13 k=113
则有：（5×113）2+（12×113）2=（13×113）2
5652+13562=14692
另外：当n=4 an+bn=cn 可能有少数整数解
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