三角形重心的性质需要证明么？

三角形重心

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三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

中文名：三角形重心
定义：是三角形三边中线的交点
性质比例：重心到对边中点的距离之比为2：1
应用领域：几何
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性质证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

证明二

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC；同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证明方法：

不需要