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已知等差数列{a n }的公差为d，前n项和为S n ，等比数列{b n }的前n项和为T n ，且{a n }、{b n }满足条

2024-12-19 14:33:17

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回答1：

（I）设等比数列{b_n }的公比为q，由S₄ =4a₃ -2，得 4 a 1 +

4×3

×d=4( a 1 +2d)-2 ，化为6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由S_n ≥S₅ 成立，得到 n a 1 +

n(n-1)

×1≥5 a 1 +

5×4

×1 ，化为（n-5）（2a₁ +n+4）≥0．
由于对任意的n∈N^* ，都有S_n ≥S₅ 成立，∴

n≥5

2 a 1 +n+4≥0

且

1≤n＜5

2 a 1 +n+4≤0

解得 -

≤ a 1 ≤-4 ．
∴ a 1 ∈[-

，-4] ．
（III）①当a₁ =-4时，a_n =-4+（n-1）×1=n-5；
②当n=1时，b₁ =T₁ =2b₁ -2，解得b₁ =2；
当n≥2时，b_n =T_n -T_n-1 =2b_n -2-（2b_n-1 -2）=2b_n -2b_n-1 ，化为b_n =2b_n-1 ．
∴数列{b_n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ b n =2× 2 n-1 = 2 n ．
∴ c n =(n-5)? 2 n ．
∴ V n =-4× 2 1 -3× 2 2 -2× 2 3 - 2 4 +0+2⁶ +2×2⁷ +…+（n-5）?2ⁿ ，
2 V n =-4× 2 2 -3× 2 3 -2× 2 4 -2⁵ +2⁷ +2⁸ +…+（n-6）?2ⁿ +（n-5）?2ⁿ⁺¹ ．
两式相减得-V_n =-8+2² +2³ +…+2ⁿ +（5-n）?2ⁿ⁺¹ = -10+

2×( 2 n -1)

2-1

+(5-n)? 2 n+1 ，
化为 V n =12+(n-6)? 2 n+1 ．