解析几何中"点差法"的应用

例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.
　　解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；
　　由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；
　　同理 px2 +3y2+q=0 ④.
　　∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.
　　∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.
　　例2 过椭圆x2＋4y2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
　　解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2＋4y1^2=16，x2^2＋4y2^2=16，
　　两式相减，得(x1﹣x2)(x1＋x2)＋4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1＋x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y + x﹣5=0
　　求圆锥曲线方程用点差法

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，（1），（2） 得：， . 又，. 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）. 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 解 设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， . 于是，即....