高数对称矩阵

求证：若A，B是对称矩阵，则AB是对称矩阵的冲要条件是AB=BA

2024-12-28 16:18:48

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回答1：

必要性:
(1) AB是对称矩阵 => (AB)'=AB
(2) 又(AB)'=B'A', 且A, B为对称矩阵 => A'=A, B'=B
故 (AB)'=B'A'=BA
由(1)(2)知 AB=BA

充分性:
AB=BA, 而A, B为对称矩阵
即 BA=B'A'=(AB)'=AB
从而AB是对称矩阵

回答2：

证明: 由已知, A^T=A,B^T=B
所以 AB是对称矩阵
<=> (AB)^T=AB
<=> B^TA^T=AB
<=> BA=AB

回答3：

证明：
①充分条件：因为A,B是对称矩阵，故有，A=AT,B=BT
AB=BTAT=BA
②必要条件：
因为AB=BA=ATBT,即A=AT,B=BT ，A,B都是对称矩阵