1⼀2*3+1⼀3*4+……+1⼀199*200 （1⼀2+1⼀3+1⼀4+...+1⼀2010）（1+1⼀2+1⼀3+...+1⼀2009）-（1+1⼀2+1⼀3+...+1⼀2

解：1、1/2×3+1/3×4+……+1/199×200
=1/2-1/3+1/3-1/4+......+1、199-1/200
=1/2-1/200
=99/200

2、用换元法：
令1/2+1/3+......+1/2009=a,1/2+1/3+......+1/2009+1/2010=b
原式=b(1+a)-a(1+b)
=b+ab-a-ab
=b-a
=(1/2+1/3+......+1/2009+1/2010)-(1/2+1/3+......+1/2009)
=1/2010

3、999......99×999......99+1999......9
=999......99×999......99+1000......00(1994个0)+999......99(1994个9)
=999......99×(999......99+1)+1000......00
-999......99×1000......00(1994个0)+1000......0
=(999......99+1)×1000......00
=1000......00×1000......00(均1994个0)
=1000000......0000(3988个0)

4、（此题有误，应该是求1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42的值）
原式=1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+1/5×6+1/6×7
=1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7
=1/2-1/7
=5/14

5、（同第2题用换元法）
令1/2+1/3+......+1/2005=a,1/2+1/3+......+1/2005+1/2006=b
原式=b(1+a)-a(1+b)
=b+ab-a-ab
=b-a
=1/2006

望采纳，谢谢！

1.  原式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...+1/199-1/200
   =1-1/200
   =199/200

2. 令a=1/2+1/3+1/4+...+1/2009
   则原式=(a+1/2010)(1+a)-(1+a+1/2010)a
   =a(1+a)+(1/2010)(1+a)-a(1+a)-(1/2010)a
   =(1/2010)(1+a)-(1/2010)a
   =1/2010×1+(1/2010)a-(1/2010)a
   =1/2010

3. 原式=999...9×999...9+2×999...9+1
   =(999...9+1)²
   =1000...0²(1994个0)
   =100...0(3988个0)

4. 原式=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/4-1/5）+（1/5-1/6）+（1/6-1/7）
   =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7
   =1-（1/2-1/2）-（1/3-1/3）-（1/4-1/4）-（1/5-1/5）-（1/6-1/6）-1/7
   =1-0-0-0-0-0-1/7
   =6/7

5. 解：令1/2+1/3+……+1/2006=a,1/2+1/3+……+1/2005=b
   则，原式=a(1+b)-(1+a)b
          =a+ab-b-ab
          =a-b
   将a,b代入，得
     a-b=1/2006