没有毕业证就不能签劳动合同享受正式员工待遇了吗？

公司违反了《劳动合同法》的多项规定，建议你向劳动部门举报或提出仲裁拿赔偿走人。
实习制度主要是指用人单位有计划、有目的地安置即将毕业的学生，以及那些不具备专业背景或行业经验，但有工作愿望和热情的毕业生，即为那些仅凭简历还不足以证明自己的人提供“实习工作”、“尝试工作”的机会，一般不算劳动关系，也只给一些实习补贴。
招聘时，企业要明确该岗位是正式员工还是实习生。实习岗位一般只收学生，不面向社会人员。
公司是拿这种制度偷换概念骗你呢。而且就算实习，你有和公司、学校签实习合同、就业协议吗？实习其实还是学习，实践学习而已。所以你完全可以要求企业签订合法劳动合同、缴纳保险，并对你进行赔偿。鉴于你已在此公司5个月。你最多可以要求公司签订无固定期限劳动合同（劳动法规定，未满1个月签合同，自动认为签订无固定期限合同），要求公司从第2个月开始，双倍支付你工资。
不过建议你还是拿赔偿走人比较好。可以向仲裁庭要求补发4个月的双倍工资、补缴保险、赔偿你多少钱我记不太清楚了，不过至少1-2个月工资（应该是按双倍算的）。
注意保留好证据。比如工作证、工资转账证明工资条、让单位开张收入证明（就说要办信用卡，有证明就可以证明你在该公司工作）、出勤记录等等。如果没证据就不好办了，很可能无法拿到赔偿。

没有拿到毕业证书和劳动手册用人单位是不会和你签劳动合同的，因为这样没有办法办录用手续。
应届毕业生如果同单位达成就业意向，双方可以先签订就业协议书，约定毕业生顺利毕业拿到证书后，到用人单位工作。这是对双方的一种保护，特别是对应届毕业生。
就业协议签订后，一份给用人单位，一份学生留存，还有一封交学校毕业生就业指导办公室，用于到各市的高校毕业生就业指导中心备案，备案时中心会通过企业组织机构代码判断对企业是否合法的单位，从而保护毕业生就业， 而不会被非法企业欺骗。备案完成后，就业指导中心会在学生毕业后打印报到证给学校，由学校发放给已经签订就业协议书的学生，毕业生凭报到证到用人单位报到上岗。

确实不太合理，现在的规定是试用期只有一个月，多点都不行，我那时也是没毕业，试用期到了毕业证也下来了，其实跟公司的原因大，法律没这规定