如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点。

回答第二小题：因为如满足egfh是长方形，则∠gfh=90度，所以∠abc+∠bcd=90度，延长ba，cd交于点o，形成三角形bco，所以∠boc=90度。所以ab垂直于cd

（1）AB=CD时 证：因为AB=CD 在三角形abd中，eg为中位线，在三角形acd中，eh为中位线，所以eg=eh 同理，gf=hf又因为eg是abd的中位线，所以eg平行于ab，同理hf也平行于ab 所以eg平行于hf，所以egfh是菱形。
（2）ab垂直于cd时是矩形。 证：其中各种中位线自己找，太麻烦了，不好打。ab平行于eg eh平行于cd 所以eg垂直于eh 同理gf垂直于hf。又eh平行于gf所以gf垂直于eg，所以egfh是矩形
（3）ab垂直且等于cd时，是正方形 由（1）知是菱形，由（2）知是矩形，所以是正方形
纯手打，如果没问题请采纳，如果有问题请追问。

AB，CD满足相等条件时，四边形EGFH是菱形。
理由是中位线EG　HF平行且等于AB得一半儿同理中位线EH　GF平行且等于CD得一半儿可以得到四条边相等
AC　　　　B D满足平行条件时，四边形EGFH是矩形。∠BAD ∠CDA互补 EH　　EG交90度
AB，CD满足上述两个条件时条件时，四边形EGFH是正方形

（1）当AB=CD时，在△BDC中，∵GF是中位线∴GF=½CD，同理在△ABC中，FH=½AB，△ACD中，EH=½CD，在△ABD中，EG=½AB，又∵AB=CD，所以GF=FH=EH=EG，所以四边形EGHF是菱形。

解：AB=CD时，四边形EGFH是菱形
证明：
∵点E，G分别是AD，BD的中点
∴EG∥AB，EG=AB/2
同理HF∥AB，HF=AB/2
∴EG∥HF且EG=HF
∴四边形EGFH是平行四边形
同理EH=CD/2
又AB=CD
∴EG=EH
∴四边形EGFH是菱形