(1-cosx)^3的不定积分

∫(1/cosx)^3 dx

=∫secx^3 dx

=∫secx d(tanx)

=∫√[1+(tanx)^2 ]d(tanx)

=( tanx√[(tanx)^2 + 1] + ln|tanx+√[(tanx)^2 + 1]| )/2 ＋C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

(1-cosx)^3
=(1-cosx)(1-cosx)^2
=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)
=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3
=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3
一个个来
1、
∫1dx=x
2、
∫3cosx dx=3sinx
3、
∫3(cosx)^2=3∫[(cos2x)+1]/2 dx
=(3/4)∫(cos2x+1) d2x
=(3/4)(sin2x+2x)
4、
∫(cosx)^3 dx=∫(cosx)^2 dsinx
=∫[1-(sinx)^2]dsinx
=sinx-[(sinx)^3]/3
所以
原式={x-3sinx+(3/4)(sin2x+2x)-sinx+[(sinx)^3]/3}+C

∫(1/cosx)^3 dx
=∫secx^3 dx
=∫secx d(tanx)
=∫√[1+(tanx)^2 ]d(tanx)
=( tanx√[(tanx)^2 + 1] + ln|tanx+√[(tanx)^2 + 1]| )/2 ＋C

回答完毕 ^_^

好像很复杂，但想不出其他方法了，不知道对你有没有帮助

∫2secxdx=∫1/(1-sinx)d(sinx)+∫1/(1+sinx)d(sinx)=ln[(1+sinx)/(1-sinx)]
=2ln[(1+sinx)/cosx]
∫(1/cosx)^3dx
=∫(secx)^3dx=∫secxd(tanx)=tanxsecx-∫tanxd(secx)
=tanxsecx-∫(secxtanx^2)dx=tanxsecx-∫(secx^3-secx)dx
=tanxsecx-∫(secx^3)dx+∫secxdx
所以2∫(secx^3)dx=tanxsecx+ln[(1+sinx)/cosx]+C