230问答网 > x和y独立,具有相同的密度函数 f(x)=1, 0<x<1. Z=X+Y 求Z的概率密度

x和y独立,具有相同的密度函数 f(x)=1, 0<x<1. Z=X+Y 求Z的概率密度

希望能够用卷积公式解决

2025-02-02 13:55:05

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回答1：

由于x、y相互独立，所以x、y的联合概率密度f(x)y(x，y)=f(x)f(y)=1；设z分布函数F(z)=P｛Z≦z｝=P｛X＋Y≦z｝=｛0，z＜0；(1/2)z^2，0≦z＜1；1-(1/2)(2-z)^2，1≦z＜2；1，z≥2。所以Z=X＋Y的概率密度fz(z)=｛0，z＜0；z，0＜z＜1；2-z，1＜z＜2；0，z＞2。
利用卷积公式求解也不简单：
fz(z)=∫(-∞→+∞)fx(x)fy(z-x)dx；分析fy(z-x)，x和y独立同密度，所以fy(z-x)=fx(z-x)={1，0当z-1>1时，即z>2时，fx(x)fy(z-x)=0，∫(-∞→+∞)fx(x)fy(z-x)dx=0；
当0当-1当z-1<-1，即z<0时，∫(-∞→+∞)fx(x)fy(z-x)dx=0。