计算传输信息1011001的CRC编码，假设其生成多项式G(X)=G(x)=x4+x3+1

例如，设实际要发送的信息序列是1010001101（10 个比特，k = 9），则以它们作为f (x)
�0�0 61 �0�0
的系数，得到对应的9 阶多项式为
f(x)=1×x9+0×x8+1×x7+0×x6+0×x5+0×x4+1×x3+1×x2+0×x+1
=x9+ x7+ x3+ x2+1。
再假设发收双方预先约定了一个5 阶（r =5）的生成多项式G(x)=x5+x4+x2+1=1×x5+ 1×x4
+0×x3+1×x2+0×x+1，则其系数序列为110101。
CRC 码的产生方法如下。
① 生成r 个比特的冗余码：用模2 除法进行xrf (x)/G(x)运算，得余式R(x)，其系数
即是冗余码。
例如，x5 f (x)=x14+x12+x8+x7+x5，对应的二进制序列为101000110100000，也就是f (x)
信息序列向左移动r =5 位，低位补0。
x5f(x)/G(x) = (101000110100000)/(110101)，得余数为01110，也就是冗余码，对应
的余式R(x)=0×x4 +x3+x2+x+0×x0（注意：若G(x)为r 阶，则R (x)对应的比特序列长度为r）。
注意，模2 除法在做减法时不借位，相当于在进行异或运算。
② 得到带CRC 校验的发送序列：用模2 减法进行x5f (x)�6�1R (x)运算得到带CRC 校验
的发送序列，即x5f (x)�6�1R (x)=101000110101110。从形式上看，也就是简单地在原信息序
列后面附加上冗余码。
在接收方，用同样的生成多项式G(x)除所收到的序列。若余数为0，则表示传输无差
错，否则说明传输过程出现差错。例如，若收到的序列是101000110101110，则用它除以
同样的生成多项式G(x)=x5+x4+x2+1（即110101）。因为所得余数为0，所以收到的序列无
差错。
CRC 校验方法是由多个数学公式、定理和推论得出的，尤其是CRC 中的生成多项式
对于CRC 的检错能力会产生很大的影响。生成多项式G(x)的结构及检错效果是在经过严
格的数学分析和实验后才确定的，有其国际标准。常见的标准生成多项式如下。
CRC-12：G（x）=x12+x11+x3+x2+1
CRC-16：G（x）=x16+x15+x2+1
CRC-32：G（x）=x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1
可以看出，只要选择足够的冗余位，就可以使得漏检率减少到任意小的程度。由于
CRC 码的检错能力强，且容易实现，因此是目前应用最广泛的检错码编码方法之一。CRC
码的生成和校验过程可以用软件或硬件方法来实现，如可以用移位寄存器和半加法器方
便地实现。