230问答网 > 已知t是一元二次方程 x^2+x+1=0 的一个根，若正整数a,b,m使得等式（at+m)(bt+m)＝31m成立，求ab的值

已知t是一元二次方程 x^2+x+1=0 的一个根，若正整数a,b,m使得等式（at+m)(bt+m)＝31m成立，求ab的值

2024-11-22 21:30:33

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回答1：

，这一定是今天早上数学联赛第二试最后一题，我做出来了！
at+m)(bt+m)＝31m

展开得
abt²+（a+b）mt+m²=31m
由x^2+x-1=0得t平方=1-x，代入上式得：ab-abt+amt+bmt+m平方=31m，
则ab-t（ab-am-bm）=31m-m平方，又abm均为正整数而解方程后发现t不是整数，因此t的系数应为0，
即（ab-am-bm）=0，所以ab=31m-m平方，且am+bm=ab，联立这两个方程，解得ab=150，即a=15或10，b等于10或15，m等于6.
希望能解决你的问题，希望你在联赛中取的好成绩！

回答2：

（at+m)(bt+m)＝31m
abt²+(a+b)mt-31m+m²=0
由于t是一元二次方程 x²+x+1=0 的一个根
则 t²+t+1=0
由系数相等，可得
ab=1