证明数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),。。。。收敛,并求其极限

解：

设a1=√2,a2=√(2+√2),a3= √(2+√(2+√2))。

an=√[2+a(n-1)]

数学归纳法：An

设数列为{An},显然A（n+1）=√（2+An）＞0

有界.数学归纳法A1＜2,设Ak＜2,则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立故0＜An＜2,

最后求极限，设极限为A，有A=√(2+A)，解出A=2。

扩展资料

数列收敛：

如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|

证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。

1，先证数列递增
数列递增显而易见，也可以用第二数学归纳法证明这个数列递增
因为a1=√2<√(2+√2)=a2即a1假设当n<=k时有a(k-1)则当n=k+1时
ak=√(2+a(k-1))<√(2+ak)从而an所以数列an递增
2、再证数列有界
再用数学归纳法证明这个数列是有上界的
因为有a1=√2<2,
假设当n=k时ak<2
则当n=k+1时
a(k+1)=√(2+ak)<√(2+2)=2
从而an<2
因为an是单调有界数列，所以极限存在
3、最后求极限
设极限为A
有A=√(2+A)
解出A=2