计算半立方抛物线 y^2=2⼀3(x-1)^3被抛物线y^2=x⼀3 截得的一段弧的长度

联立y^2=2/3(x-1)^3和y^2=x/3得

2(x-1)^3=x

令x-1=t，得2t^3=t+1

2t^3-t-1=0

2t^3-2t+t-1=0

2t(t^2-1)+(t-1)=0

2t(t+1)(t-1)+(t-1)=0

(t-1)[2t(t+1)+1]=0

(t-1)(2t^2+2t+1)=0

得t=1（2t^2+2t+1=0无解）

故x=t+1=1+1=2，y=±√(2/3)=±√6/3

半立方抛物线y^2=2/3(x-1)^3,两边对x求导得

2y*dy/dx=2/3*3(x-1)^2=2(x-1)^2

y'=dy/dx=(x-1)^2/y

于是√(1+y'^2)=√[1+(x-1)^4/y^2]=√{1+(x-1)^4/[2/3*(x-1)^3}=√[(3x-1)/2]

则该段圆弧长度L=2∫(x:0,2)√(1+y'^2)dx

=2∫(x:1,2) √[(3x-1)/2]dx

=2*√(3/2)*∫(x:1，2) √(x-1/3)dx

=√6*2/3*(x-1/3)^(3/2)|(x;1,2)

=2(5√10-4)/9

扩展资料：

平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。

相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

抛物线具有许多重要的应用，从抛物面天线或抛物线麦克风到汽车前照灯反射器到设计弹道导弹。它们经常用于物理，工程和许多其他领域。

参考资料来源：百度百科--抛物线

解：联立y^2=2/3(x-1)^3和y^2=x/3得
2(x-1)^3=x
令x-1=t，得2t^3=t+1
2t^3-t-1=0
2t^3-2t+t-1=0
2t(t^2-1)+(t-1)=0
2t(t+1)(t-1)+(t-1)=0
(t-1)[2t(t+1)+1]=0
(t-1)(2t^2+2t+1)=0
得t=1（2t^2+2t+1=0无解）
故x=t+1=1+1=2,y=±√(2/3)=±√6/3
半立方抛物线y^2=2/3(x-1)^3，两边对x求导得
2y*dy/dx=2/3*3(x-1)^2=2(x-1)^2
y'=dy/dx=(x-1)^2/y
于是√(1+y'^2)=√[1+(x-1)^4/y^2]=√{1+(x-1)^4/[2/3*(x-1)^3}=√[(3x-1)/2]
则该段圆弧长度L=2∫(x:0,2)√(1+y'^2)dx
=2∫(x:1,2) √[(3x-1)/2]dx
=2*√(3/2)*∫(x:1,2) √(x-1/3)dx
=√6*2/3*(x-1/3)^(3/2)|(x;1,2)
=2(5√10-4)/9