an=4^n-3^n证明1⼀a1+1⼀a2+1⼀a3+…1⼀an<4⼀3

提示：此类题目一般要用到放缩法。
证：
[1/a(n+1)]/(1/an)
=an/a(n+1)
=(4ⁿ-3ⁿ)/[4^(n+1)-3^(n+1)]
=(1/3)(3×4ⁿ-3×3ⁿ)/[4^(n+1)-3^(n+1)]
=(1/3)[4^(n+1)-3^(n+1)-4ⁿ]/[4^(n+1)-3^(n+1)]
=(1/3)- (1/3)4ⁿ/[4^(n+1)-3^(n+1)]
=(1/3)-(1/3)/[4-3×(3/4)ⁿ]
随n增大，(3/4)ⁿ单调递减，n->+∞，(3/4)ⁿ->0
1/7<(1/3)/[4-3×(3/4)ⁿ]<1/4

1/a1+1/a2+...+1/an
<(1/a1)[1+(1/4)+(1/4)²+...+(1/4)^(n-1)] 由上面的过程进行放缩，放缩成等比数列
=[1/(4-3)]×1×(1-1/4ⁿ)/(1-1/4)
=(4/3)(1-1/4ⁿ)
=4/3 -(4/3)/4ⁿ
<4/3
不等式成立。

an=4^n-3^n=(4-3)[4^(n-1)+4^(n-2)*3^1+4^(n-3)*3^2+...+4^2*3^(n-3)+4^1*3^(n-2)+3^(n-1)]
=4^(n-1)+4^(n-2)*3^1+4^(n-3)*3^2+...+4^2*3^(n-3)+4^1*3^(n-2)+3^(n-1)>4^(n-1)
从而 1/an<1/4^(n-1)
1/a1+1/a2+1/a3+…1/an<1+1/4+1/4^2+...+1/4^(n-1) = 1*(1-1/4^n)/(1-1/4)<1*(1)/(1-1/4)=4/3