设A=1*2+2*3+3*4+...+2001*2002,那么A除以l2的余数是多少？

A=1*2+2*3+3*4+...+2001*2002,求A除以l2的余数
解一：
求得1X2+2X3+...+n(n+1)的和项公式为n(n+1)(n+2)/3
[令n=1作首项检验可知不是n(n+1)(n+2)/6]
求法可用公式法，构建差项法，组合数法等，这里不再说明。
从而原式=667*2002*2003
2002-1980-12=10,
对各个乘项对12取余数得7*10*11,再取余得7*(-2)*(-1)=14.从而除以12余2.
或者：对3余数为1*1*2,对4余数为1*2*3/3＝2。从而除以12余2.

解二：
考察通项n(n+1)对3和4的余数的周期性：
对于3的余数:2,0,0,以下循环。所以原式与667*2对3同余(相同的余数)，扣除666X2显然得2.
对于4的余数:2,2,0,0,以下循环。所以原式与(2+2+0+0)*500+2对4同余,显然为2.
那么除以12必定余2.

理论基础：
同余理论；中国剩余定理(逆用)

A=n(n+1)的前2001项的和
A=n(n+1)(n+2)/3 n=2001

A=2674674002 余数为2

1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3
n=2001
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)= 2674674002
余数为2

1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3

A=1*2+2*3+3*4+...+2001*2002=2001*2002*2003/3=667*2002*2003

A/12=667*2002*2003/12=667*1001*2003/6=(666+1)*1001*2003/6
=111*1001*2003+1001*2003/6
=111*1001*2003+(996+5)*2003/6
=111*1001*2003+166*2003+5*2003/6
=111*1001*2003+166*2003+5*(1998+5)/6
=111*1001*2003+166*2003+5*333+5*5/6

所以A/12的余数就是5*5/6的余数,是:1

方法1：
1*2+2*3+……+n*(n+1) = n*(n+1)(n+2)/6
1*2+2*3+3*4+...+2001*2002 = 2001*2002*2003/6 = 2674674002
除以12 余数为2

方法2：
按6个分组
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7 (每组余数为4)
………………
1999*2000+2000*2001+2001*2002
上面共有333组。333*4/12 余数为0

(1999*2000+2000*2001+2001*2002) / 12
余数为2

因此总余数为2