It is...that强调句型强调宾语时，与关系词在从句中充当宾语的定语从句，有什么区别？

这是定语从句
先行词（即被修饰的主句中心词）是present，从that开始都是修饰present的，是一个定于从句，that是关系代词，在从句是宾语补足语（his granny sent him ______ on this birthday），空格处就是the present，也就是that。

强调句与定语从句的本质区别就是，强调句的that不充当句子的任何成分，强调句的框架It is ... that，即使在去掉之后，通过调整句子语序或根本无需调整，句子仍是对的，比如上面的改成强调句，其中一种可以说：
It is on his birthday that his granny sent him the present.

is换成was是强调句，前后时态保持一致，不知道是不是你写错了。

定语从句 that代指present

你说的是对的，根据语法来看它既可以是强调句也可以是定语从句，至于上面的人偏偏只说是一个句子我就不知道了，判断句子是什么句子不能只局限于单个句子，要放在文中去看，比如Where did you find the professor who made the speech yesterday ？ It was in the hall ______ the students often have a meeting. 就语法来看 that/where都可以，但是放到文中 It was in the hall that the students often have a meeting，该句的意思是“学生们通常是在大厅开会”，单独看这一句，无论是其意思还是其语法均未错，但若将其与上文联系起来看，则不通，因为上文的意思是“你是在哪儿找到昨天作报告的那位教授的?”假若将答句改为 It was in the hall where the students often have a meeting则完全可以。不能答非所问，具体问题具体分析