如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE ∥ AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙

2024-12-02 20:09:23

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回答1：

（1）证明：连接OD，CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE ∥ AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中

DE=CE

EO=EO

OC=OD

，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．

（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM ∥ FN，∠OMN=90°，
∵OE ∥ AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，

∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE ∥ AB，
∴△OEC ∽ △ABC，
∴

，
∴

，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC=

1 0 2 - 6 2

=8，

sin∠BAC=

，
即

，
OM=

=FN，
∵cos∠BAC=

，
∴AM=

由垂径定理得：AD=2AM=

，
即△ADF的面积是

AD×FN=

108

．
答：△ADF的面积是

108

．