先に行ってて

「先に行ってて」省略後面的「下さい」。
完全形是「先に行ってて下さい」。

「先に行ってて下さい」是「先に行っていて下さい」的简略形。
这个「いて」表示前面动词的行为継続。

例子）
「まあ、见てて下さい」（见ていて下さい）－＞「见る」という行为を続けて下さい、（私が结果を出して见せるから）见ているだけで何もしないで下さい、という意味
「スープを召し上がってて下さい、ハンバーグが焼けたらすぐにお持ちします。」－＞すぐにハンバーグができるから、できたら持ってくるので、それまではスープを饮みながら待っていて下さい、の意味

「先に行ってて下さい」は、先に出発して、そのまま（途中で停止して私を待つ、という事をしないで）目的地に向かい続けて下さい、という意味です。
自分が後で出発する时に使います。
以下の二つの场合があるので、通常はもう一文追加します。
1．自分もすぐ後から出発してあなたに追いつきます、という意味の场合
例：「先に行ってて。すぐに追いつくから。」
2．自分は後から出発して、あなたが目的地に到着した後に私も到着します、という意味の场合
例：「先に行ってて。俺も（私も）後から行くから。」

可以理解为语气，

原形是：先に行っておいて
把おい省略掉了就是
先に行ってて

と言いう 的意思吧

作用是“确认、催促”的意思
至于怎么来的，有多种说法，给你一个网址，看看吧。