求数列{an},an=n(n+1)⼀2的前n项和Sn，并继续求出Sn的前n项和Tn，求Sn和Tn.(Tn求不出来，Sn也可以啊！)

如果an=n，则Sn=n(n+1)/2，如果an=n^2，则Sn=n(n+1)(2n+1)/6，这都是已知的吧
而当an=n^3时，Sn=(n(n+1)/2)^2(这个公式可以用数学归纳法证明)

an=n(n+1)/2
则Sn=(1/2)*((1+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n))
=(1/2)*(n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2)=n(n+1)(n+2)/6
因Sn=n(n+1)(n+2)/6=(n^3+3n^2+2n)/6=n^3/6+n^2/2+n/3
所以Tn=(1/6)*(n(n+1)/2)^2+n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/6
=n^2*(n+1)^2/24+n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/6
=n(n+1)(n+2)(n+3)/24
这真是一个神奇的数列，结果这么漂亮。

常用结论，an=n^2，Sn=n(n+1)(2n+1)/6，
an=n^3，Sn=n^2*(n+1)^2/2
上题an=(n^2+n)/2，代入公式求出Sn，
同理代入公式求出Tn
类似的，可以用待定系数法求Sn，因为二次方的积分是三次方（最高次），三次方的积分是四次方，所以Sn应该有ax^3+bx^2+cx+d的形式（可能这样说不科学，不管你信不信，反正我是信了），代a1,a2,a3,a4就能求出系数了，同理

（普通的证明~复制来的
an=n^3，求Sn
设bn=(n+1)^4-n^4,Bn是bn的前n项和
则Bn=(n+1)^4-1
又
bn=4n^3+6n^2+4n+1
所以Bn=4Sn+6*(1/6)n(n+1)(2n+1)+4*(1/2)n(n+1)+n
(n+1)^4-1=4Sn+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n

4Sn=(n+1)^4-[n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+(n+1)]
=(n+1)^4-[n(n+1)(2n+1)+(2n+1)(n+1)]=(n+1)^4-[(n+1)(2n+1)(n+1)]
=(n+1)^2*n^2
所以Sn=n^2*(n+1)^2/4 )