如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1,0）

⑴OA=2，OB=1，
易得：RTΔOAB∽RTΔOCA，∴OA/OC=OB/OA，∴OC=4，C(4，0)，
⑵抛物线过C、B可设为y=a(x-4)(x+1)，又过(0，2)得：2=a*(-4)，a=-1/2，
∴解析式为：y=-1/2(X^2-3X-4)=-1/2(X-3/2)^2+25/8，对称轴：X=3/2；
⑶直线AC解析式为：Y=-1/2X+2，过P作PQ⊥X轴于Q，交AC于D，
则D(m，-1/2m+2)，又P(m，-1/2m^2+3/4m+2)，
∴DP=-1/2m^2+2m，
∴SΔPAC=SΔPDA+SΔPDC=1/2DP(AQ+CQ)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4，
∴当m=2时，S最大=4；此时P(2，3/2)；
⑷CQ=2，PQ=3/2，∴PA=5/2，设对称轴交X轴于E，
QE=3/2，
①当PM=PC=5/2时，√(PM^2-QE^2)=√6，
∴M(3/2，3/2±√6)，
②当CP=CM=5/2时，∵EM=OC-OE=5/2，
∴M(3/2，0)
③MC=MP，设CP中点为R，设M(3/2，K)，
∴K^2+(5/2)^2=(1/2)^2+(3/2-K)^2，K=-5/4，
M(3/2，-5/4)，

综上所述，满足条件的M的四个点：
M1(3/2，3/2+√6)，M2(3/2，3/2-√6)，
M3(3/2，-5/4)，M4(3/2，0)。

解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
则：OC=
OA2
OB
=4，
∴C（4，0）．
（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-
1
2
∴抛物线的解析式：y=-
1
2
（x+1）（x-4）=-
1
2
x2+
3
2
x+2，对称轴 x=
3
2
．
（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
4k+2=0，k=-
1
2
∴直线AC：y=-
1
2
x+2；
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-
1
2
m2+
3
2
m+2）、
∴S梯形AOMP=
1
2
（2-
1
2
m2+
3
2
m+2）m=-
1
4
m3+
3
4
m2+2m，
S△PHC=
1
2
（4-m）（-
1
2
m2+
3
2
m+2）=
1
4
m3-
7
4
m2+2m+4，
S△AOC=
1
2
×4×2=4，
S=S梯形AOMP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4，
∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．
（4）依题意，设M（
3
2
，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：
MP2=b2-6b+
37
4
、MC2=b2+
25
4
、PC2=13；
当MP=MC时，b2-6b+
37
4
=b2+
25
4
，解得 b=
1
2
；
当MP=PC时，b2-6b+
37
4
=13，解得 b=
6±51
2
；
当MC=PC时，b2+
25
4
=13，解得 b=±
33
2
；
综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （
3
2
，
1
2
）、（
3
2
，
6+51
2
）、（
3
2
，
6-51
2
）、（
3
2
，
33
2
）、（
3
2
，-
33
2 ）．

第一个 根据 三角形相似 c【4，0】 第二个 设 【x+m】2=a【y+n】或【y+m】2=a【y+n】 带入三个点 三个点 三个未知数 搞定 第三个 AC长度知道 可以根据点P到直线AC的距离 算出面 积 将P【m，n 】带入抛物线可以得到m和n的关系 带入面积 换成一个未知数 二次函数 求最值 第四个 和第三个道理一样 我是学生 不会打平方 忘 见谅 你看看 可以做不 只是提供原理