离散数学 ：一、二、三、五阶群有一个，四、六阶有两个，七阶群有几个？ 具体怎么算？求指导。

一个。因为7是素数
所有素数阶群都只有一个，自己证证当练习吧不难。（提示用拉格朗姆）
几阶有几个群没有必然联系，但你要找出来的话也不难。
比如8阶。首先循环群C8必然是一个(出于习惯我把循环群n阶称为Cn)
C4XC2由于没有8阶的元素但C8有，因此C4xC2不同构C8。又一个。
C2XC2XC2，也就是三个二阶循环群的积又是一个，因为他的2阶元素比全两个都多。
除此之外没有循环群了，考虑不循环的。
D8，8阶的二面体群明显是一个，不循环的。
除此之外还有一个叫Q8，由两个2x2的包含根号-1的矩阵生成，感兴趣可以自己搜搜。我的教材把他叫做叫quaternion group Q8.
因此8阶的有4个。
可以看出个数没有必然联系。比如1，3，5，7都是1个，但9就不同了，比如C9和C3XC3至少两个了。因此1，3，5，7，9阶群的个数没有必然联系。老师应该说过抽象代数这门课的目的吧，就是要研究不同阶的群的个数以及他们都是谁，因此是没有必然联系的，不然那么简单找到关系这门课就不存在了。捷径是啥？答案是没有任何捷径，好多阶的群现在所有数学家都还不敢说自己找全了，因为抽象代数或者群论要研究的就是你所说的东西，几阶的群都包含那些群，有几个？这个就是这门科的目的啊。。怎么可能有捷径
阶数大的，一般可以用8阶以内的积来考虑，比如9阶用C3xC3就找到了一个。任何群先考虑交换的，也就是用循环群的积来生成会很简单。接下来考虑非循环的有点难度，但最终只是排列组合的问题。排列组合学得好的话个数慢慢算吧