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lim(x->0)(e^x+e^-x-2)⼀ln(1+x^2) 求极限，我用洛必达法则可还是解

2024-12-20 02:16:31

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回答1：

记：f(x)=e^x+e^(-x)-2 g(x)=ln(1+x^2)
lim(x->0) [e^x +e^(-x)-2]/ln(1+x^2)=lim(x->0) f(x)/g(x) //: f(0)/g(0)=0/0 用洛必达法则
=lim(x->0) f '(x)/g'(x)=lim(x->0) [e^x-e^(-x)]/[2x/(1+x^2)] //: 再用一次洛必达法则
=lim(x->0) [e^x+e^(-x)]/{[2(1+x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2}
=2/(2/1)
=4
即：lim(x->0) [e^x +e^(-x)-2]/ln(1+x^2)=4

回答2：

楼下那大哥解得太麻烦，实际上这题2行就能出结果
首先，把分母用等价代换代换成x^2，然后就有2种做法：一种是2次洛必达，另外一种是对分子做手术，分子=(e^（x/2）+e^（-x/2）)^2，然后就是一个完全平方式，平方里面可以用等价代换（先凑个1，分项再代换）求极限，然后就ok了