设A为m*n矩阵,B为k*n矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

2024-12-30 02:09:55
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回答1:

设一分块矩阵C 上块为A下块为B
Cx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解
r(C)<=r(A)+r(B)∴Cx=0存在非零解
即Ax=0与Bx=0存在非零公共解

回答2:

设r(a)=r,rb=s,ax的基础解系有n-r,bx有 n-s,基础解系一共有2n-r-s大于n,所以一定线性相关,所以一定有某个特解可以有另一组基础解系表示