刘老师，怎么证明三不同直线交于一点的充要条件是a+b+c=0?

三不同直线交于一点的充要条件是方程组有唯一解.

(=>)必要性
由已知中, 方程组
ax+2by=-3c
bx+2cy=-3a
cx+2ay=-3b
有唯一解.
所以 r(A)=r(A,b)=2
所以增广矩阵的行列式等于0.
|A,b|=
a 2b -3c
b 2c -3a
c 2a -3b
2,3行分别提出2,-3, c1+c2-c3,第1列提出公因子
= -6(a+b+c)
1 b c
1 c a
1 a b
= -6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
= -6(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
= 0.
因为 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≠0 (否则三条直线相同)
所以 a+b+c=0.
(<=)充分性
由必要性的证明知 |A,b|=0
所以 r(A,b)<=2.
因为A的2阶子式
a 2b
b 2c
= 2(ac-b^2)=-2(a(a+b)+b^2)
= -2[(a+b/2)^2+3b^2/4]
≠ 0
所以 2<=r(A)<=r(A,b)<=2.
故 r(A)=r(A,b)=2.
因此方程组有唯一解, 即三直线交于一点.

加分吧 ^_^

简单计算一下即可，答案如图所示