不定积分dt⼀(2t(t^2+1))

2024-12-14 20:02:13

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回答1：

∫dt/2t(1+t^2)
=∫[1/2t(1+t^2)]dt
=∫[1/t[(t^2)/2+1/2] dt
查积分表，有：
∫dx/[x(ax^2+b)=(1/2b)ln(x^2/|ax^2+b|)+C
对比题目，可知：x=t、a=1/2、b=1/2
所以：
∫[1/t[(t^2)/2+1/2] dt
=1/4ln[t^2/|(1/2)t^2+1/2|]+C

回答2：

原式=(1/2)∫[1/t-t/(t^2+1)]dt
=(1/2)ln|t|-(1/2)*(1/2)∫d(t^2+1)/(t^2+1)
=(1/2)ln|t|-(1/4)ln(1+t^2)+C.

回答3：

∫dt/(2t(t^2+1))
=(1/2)∫ ( 1/t - t/(t^2+1) dt
=(1/2)[ ln|t| + (1/2)ln|t^2+1| ] +C

回答4：

设tanu=t,1+t²=sec²u,dt=sec²udu,sinu=t/√(1+t²)
原式=∫sec²u/(2tanu*sec²u)du
=1/2∫cotudu
=1/2*ln|sinu|+C
=1/2ln|t/√(1+t²)|+C