高二数学希望杯第二试试题及解答(10-16届的)

2024-12-29 19:56:19

推荐回答（1个）

回答1：

你说的是10-16的届，我找的只有13届的高二数学希望杯第二试试题及解答。希望对你有帮助
第十三届“希望怀”全国数学邀请赛第2试试题(高二)
2002年4月21日上午8：30至10：30
高中二年级 (适用新教材)

一. 选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）

1. 设x，y满足，则的取值范围是（）
A. 〔，〕 B. 〔，6〕
C. 〔6，8〕 D. 〔6，〕

2. 方程的实根分别为，则等于（）
A. B. C. D. 1

3. 函数的值域是（）
A. （〕 B. （〕
C. 〔） D. 〔）

4. 四面体ABCD的各面都是锐角三角形，且，，。平面分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）
A. 2a B. 2b C. 2c D.

5. 从空间一点引三条不共面的射线，则以每条射线为棱的三个二面角的和的取值范围是（）
A. （） B. （）
C. （） D. （）

6. 已知椭圆上有三点（，）（ 1，2，3），它们到同一个焦点的距离分别是，，，则，，成等差数列的充要条件是（）
A. ，，成等差数列
B. ，，成等差数列
C. 上述（A）、（B）同时成立
D. （A）、（B）以外的条件

7. 若不等式对所有正实数a，b都成立，则m的最小值是（）
A. 2 B. C. D. 4

8. 不等式的解集是（）
A. 〔〕
B. 〔，〕
C. （〕〔，〕
D. 〔，〕

9. 将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（）
A. B. C. D.

10. Given two sequences 、 with positive terms, let be arithmetic with the common difference ，let be the length of the line segment cut by the parabola （）from the . Then （）
（英汉小字典：common difference 公差；parabola抛物线；：轴）
A. B. C. D.

二. 填空题

11. 已知是区间〔，2〕上的增函数，且，若对所有的〔，2〕和〔，1〕恒成立，则实数m的取值范围是__________。

12. 已知方程在上有两个根，则 _____。

13. 设分别是方程在区间（0，）上的解，则它们的大小关系是________。

14. 已知均为锐角，且，则的最大值等于_________。

15. 已知定直线上有三点A，B，C，，，。动圆O恒与相切于点B，则过A、C且都与⊙O相切的直线、的交点P的轨迹是________。

16. 复数z满足条件，则的取值范围是_______。

17. 抛物线系在平面上不经过的区域是________，其面积等于_________。

18. Given the function and 。If there must exist at least one real number c such that . Then the range of p is ________。

19. 在四面体ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形，且腰长为a。过D作截面DEF交面ABC于EF，若，且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD的夹角等于________。

20. 长为（）的线段AB的两端在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于________。

三. 解答题

21. 从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。
（1）用x表示圆锥的体积V；
（2）求V的最大值。

22. 已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
（1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。
（2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。

23. 用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。
（1）请规定的值，并说明其实际意义。
（2）写出满足的条件和具有的性质。
（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。