230问答网 > 设x1=1,xn=根号(2xn-1)，证明当x趋于无穷时，xn极限存在，并求其极限。

设x1=1,xn=根号(2xn-1)，证明当x趋于无穷时，xn极限存在，并求其极限。

用数学归纳法，请详细写一下过程，谢谢

2024-11-29 19:14:32

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回答1：

x1=1, x2=2^(1/2) , x3=2^(3/4), x4=2^(7/8), x5=2^(15/16),……，xn=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}
x(n)/x(n-1)=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}/2^{[2^(n-2)-1]/2^(n-2)}>1 xn单调递增并且xn<2
根据定理，xn有极限
lim[n→∞]xn=lim[n→∞]2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}=lim[n→∞]2^{1-1/2^(n-1)}=2