∫sint⼀tdt=π积分下、上限分别为-∞，∞，怎么证？

因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.

I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0）

显然：

I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）

I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0）

=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0）

=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0）

=-1/(1+x^2)

从而有

I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)

|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|

≤∫|e^(-xt)sint/t|dt

≤∫e^(-xt)dt

=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0）

=1/x －－>0 (x－－>+∞)

即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)

对（1）式两端取极限：

lim(I(x))(x－－>+∞)

=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)

=-π/2+C

即有0=-π/2+C,可得C=π/2

于是（1）式为

I(x）=-arctan(x)+π/2

limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)

I(0)=π/2

所以有

I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2

因为sinx/x是偶函数,所以

∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞）

=π

扩展资料：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个

 上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

如果黎曼可积的非负函数f在

 上的积分等于0，那么除了有限个点以外，

 。如果勒贝格可积的非负函数f在

 上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果

 中元素A的测度

 等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。

证明过程如下：

证明：

∵ sint/t不存在初等函数的原函数

∴e^(-xt)(x>=0)

∴I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0）

∴I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）

∵I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞，下限为0）

=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0）

=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0）

=-1/(1+x^2)

∴I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C

|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|

≤∫|e^(-xt)sint/t|dt

∴≤∫e^(-xt)dt

扩展资料

证明函数积分的方法：

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数。

设函数f(x)在区间[a,b]并且设x为[a,b]上的一点，积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

你要是学过《信号与系统》就很好证明了。利用傅立叶变换，变到频域来证明即可。Sa（t）频域函数是一个门函数。

证明这个函数的在整个定义域内连续，可导，可积省略。

下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞，下限为0）

因为sint/t不存在初等函数的原函数，所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分。

I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞，下限为0）

显然：
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）

I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞，下限为0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞，下限为0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞，下限为0）
=-1/(1+x^2)

从而有

I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)

|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数，上限为∞，下限为0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)

即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)

对（1）式两端取极限：

lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C

即有0=-π/2+C，可得C=π/2

于是（1）式为

I(x）=-arctan(x)+π/2

limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)

I(0)=π/2

所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为0）=π/2

因为sinx/x是偶函数，所以
∫sint/tdt(积分上限为∞，下限为-∞）
=π

这个地方些数学公式很是不方便的。另外也可以用复变函数来求解的。如果有不懂的地方问我。

图在哪？