已知f(x)＝lnx，g(x)＝13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直

2024-12-04 21:09:51

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回答1：

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴g(x)＝

x3+

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．
∴

g(1)＝0

g′(1)＝1

，∴

m＝?1

n＝

，…（4分）
∴g(x)＝

x3+

x2?x+

…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)＝

?2x?1＝

1?2x2?x

＝?

(2x?1)(x+1)

…（9分）
令h′（x）=0，得x＝

或x=-1（舍）…（10分）
当0＜x＜

时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＞

时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）
因此，当x＝

时，h（x）取得极大值，
∴[h（x）]_极大=h(

)＝ln