数学分析中的典型问题与方法(裴礼文）第二版319页4.1.6 的解题思路

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书名：数学分析中的典型问题与方法

作者：裴礼文

豆瓣评分：9.3

出版社：高等教育出版社

出版年份：1993-5

页数：844

内容简介：《数学分析中的典型问题与方法》共分220个条目,1200个问题,包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数,多元函数极限、连续、微分、积分。

f_0(x)>0可以推出f_n(x)>0（除原点外），f_n(x)连续且严格递增，所以不妨从f_1开始考虑。

假定f_n有极限且极限与积分可交换，先平方再求导可以解出f(x)=x/2，当然，到这里只能猜出答案，不能作为推理依据。

1. 考虑f_1(x)=a*x^b的情形，a>0, b>=0。利用递推关系可以得到f_n(x)=a_n*x^{b_n}中a_n和b_n的递推式，不难解出lim a_n=1/2, lim b_n=1，即对于a*x^b型的初值结论是成立的。
2. Riemann可积的函数有界，所以|f_0(x)|<=M，M也是a*x^b型的初值，所以limsup f_n(x) <= x/2
3. 寻找a*x^b型的下界比较困难，但是可以稍微变通一下
对于任何d>0(当然00，构造一个函数g_1(x):
在[0,d)上g_1(x)=0,在[d,1]上g_1(x)=u(x-d)/(1-d)
于是0<=g_1(x)把g_1(x)也代入f_n的迭代格式，生成序列g_n(x)，由于g_1(x)具有a*(x-d)^b的形式，通过平移容易验证在[d,1]上g_n(x)->(x-d)/2，所以liminf f_n(x) >= (x-d)/2
由于d是任意的，所以liminf f_n(x) >= x/2

两边平方的Fn（x）=∫fn（x）dx=f（n+1）2（x）再求导