高数问题,用微元法求旋转体的侧面积怎么求,我想要详细的推倒过程,谢谢!!!

把旋转体分割成任意小的小块，每一小块可以看成曲边圆柱体。

假设函数y=f(x)≥0在x=a,x=b之间的曲线绕x轴旋转。

则这是的体积微元为2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx

其中2πf(x)是曲边圆柱体的底面周长，高为弧长√{1+[f'(x)]²}dx

所以旋转体的侧面积为:

S=∫[a,b] 2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx

扩展资料

就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足形如（4）式所示的“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难。

所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备形如（4）式的“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。

最常见的换“元”技巧有如下几种

1、“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

2、“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

3、“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

4、“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。 

参考资料来源：百度百科-微元法

把旋转体分割成任意小的小块，每一小块可以看成曲边圆柱体，
假设函数y=f(x)≥0在x=a,x=b之间的曲线绕x轴旋转，
则这是的体积微元为2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx
其中2πf(x)是曲边圆柱体的底面周长，高为弧长√{1+[f'(x)]²}dx
所以旋转体的侧面积为
S=∫[a,b] 2πf(x)√{1+[f'(x)]²}dx
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

算周长，然后把周长都加起来