求一道初三数学竞赛题的解答~在线等答案

记S(△AOB)=x,S(△COD)=y,
S(△AOD):S(△COD)=AO:CO,
S(△AOB):S(△COB)=AO:CO,
4:y=x:9,
xy=36,
ABCD是等腰梯形，AD‖BC时，S(△AOB)=S(△COD)，此时x=y=6，x+y取最小值12.
凸四边形ABCD面积的最小值为4+9+12=25.

set ∠AOC=a
then ∠AOC=∠BOC=a
4=AO*DO*sin(a)/2 9=BO*CO*sin(a)/2
set △AOB=s1, △DOC=s2
s1=AO*BO*sin(π-a), s2=DO*CO*sin(π-a)
sin(π-a)=sin(a)
then s1+s2=AO*BOsin(a)/2+DO*CO*sin(a)/2 ...1
sin(a)=8/AO*DO, sin(a)=18/BO*CO .....2
put 1 into 2
s1+s2=4*BO/DO+9*DO/BO=(4*BO*BO+9*DO*DO)/BODO={4*(BO-(3/2)*DO)*(BO-(3/2)*DO)+12*BODO}/BODO
(BO-(3/2)*DO)*(BO-(3/2)*DO)>=0
so if (BO-(3/2)*DO)*(BO-(3/2)*DO)=0
min s1+s2=3*BODO/BODO=12
so min ABCD=9+4+12=25

设AO=a,BO=b,CO=c,DO=d,
由已知条件可知
三角形三角形OAD的面积=a*d*sin(角AOD)=4
三角形三角形OBC的面积=b*c*sin(角BOC)=9
三角形三角形OAB的面积=a*b*sin(角AOB)
三角形三角形OCD的面积=c*d*sin(角DOC)
显然角AOD=角BOC，角AOB=角DOC，
还有角AOD+角AOB=180度，即sin(角AOB)=sin(角AOD)。
三角形三角形OAB的面积+三角形三角形OCD的面积
=c*d*sin(角DOC)+a*b*sin(角AOB)
=c*d*sin(角AOB)+a*b*sin(角AOB)
=c*d*sin(角AOD)+a*b*sin(角AOD)
<=2*根号下(c*d*sin(角AOD) * a*b*sin(角AOD))
=2*根号下（4*9）=12

此时面积最大。
所以总面积最大为4+9+12=25.

设AO=a,BO=b,CO=c,DO=d,
由已知条件可知
三角形三角形OAD的面积=a*d*sin(角AOD)=4
三角形三角形OBC的面积=b*c*sin(角BOC)=9
三角形三角形OAB的面积=a*b*sin(角AOB)
三角形三角形OCD的面积=c*d*sin(角DOC)
显然角AOD=角BOC，角AOB=角DOC，
还有角AOD+角AOB=180度，即sin(角AOB)=sin(角AOD)。
三角形三角形OAB的面积+三角形三角形OCD的面积
=c*d*sin(角DOC)+a*b*sin(角AOB)
=c*d*sin(角AOB)+a*b*sin(角AOB)
=c*d*sin(角AOD)+a*b*sin(角AOD)
<=2*根号下(c*d*sin(角AOD) * a*b*sin(角AOD))
=2*根号下（4*9）=12
当且仅当c*d*sin(角AOD)=a*b*sin(角AOD)时等号成立，
此时面积最大。
所以总面积最大为4+9+12=25.