求均值不等式习题

2.（2011湖南永州，22，8分）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为
8︰ 3︰2，且其单价和为130元．
⑴请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
⑵若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？

解：（1）： 因为单价和为130，且单价比是8:3:2，所以单价分别是80,30,20元
（2）： 设篮球为x，乒乓球为y，则羽毛球为4x 所以：x+y+4x=80,①且，y≦15②，
解①②得x≥13
又因为：80x+30×4x+20y≦3000③
解①③得x≦14
综上所述： 13≤x≦14
因为x为整数，所以x=14或13
只有两种方案：篮球14，羽毛球56，乒乓球10个；篮球13，羽毛球52，乒乓球15个 ，
4，（2011乌兰察布），某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．
(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意得
8x+5(50-x)≤349 ① 4x+9(50-x)≤295②
解这个不等式组得 ， ∴31≤x≤33 ∵x是整数， ∴x可取31，32，33
∴可设计三种搭配方案 ①A种园艺造型31个B种园艺造型19个
②A种园艺造型32个B种园艺造型18个
③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．
（2）方法一： 由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，
最低成本为 33×800+17×960=42720（元）
方法二： 方案①需成本31×800+19×960=43040（元）
方案②需成本32×800+18×960=42880（元）
方案③需成本33×800+17×960=42720（元）
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．

7、（2011广东茂名）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．
（1）若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？ （2分）
（2）若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？ （3分）
（3）相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？

解: (1)设购买甲种小鸡苗x只，那么乙种小鸡苗为(2000－x)只．
根据题意列方程，得2x+3(2000-x)=4500， x=1500(只)， 2000-x=2000-1500=500(只)，
·即：购买甲种小鸡苗1500只，乙种小鸡苗500只．
(2)根据题意得：2x+3(2000-x)≤4700， x≥1300， 即：选购甲种小鸡苗至少为1300只．
(3)设购买这批小鸡苗总费用为y元，根据题意得：y=2x+3（2000-x）=-x+6000， ①
又由题意得：94%x+99%（2000-x）≥2000×96%，② 解得：x≤1200， 因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小，所以当x＝1200时，总费用y最小，乙种小鸡为：2000－1200＝800(只)，即：购买甲种小鸡苗为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用y最小，最小为4800元．

8.（2009•威海）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

解（1）.假设购进乙型号的电冰箱是X台，则甲型号的电冰箱是2X，丙型号的电冰箱是80-3X，总金额不超过132000元,
1200×2X+1600X+2000(80-3X)≤132000
计算结果 X≥14台
（2）.甲冰箱的台数不超过丙种的台数，2X≤80-3X，
计算结果 X≤16台，乙型号的电冰箱是14,15,16台，甲型号的电冰箱是28,30,32台，丙型号的电冰箱是38,35,32台。

9.、某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．
（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？
（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

解：设加工的原味核桃巧克力x块，那么加工的原味益智巧克力50-x块（或设为b块）
13x+5（50-x）≤410（1） 4x+14（50-x）≤520（2）
由（1） 13x+250-5x≤410 8x≤160 x≤20
由（2） 4x+700-14x≤520 10x≥180 x≥18
x的取值范围18≤x≤20
所以x可以得18，19，20
方案有 原味核桃巧克力 益智核桃巧克力 一 18 32 二 19 31 三 20 30 第一种方案成本：1.2x18+2x32=85.6元 第二种方案成本：1.2x19+2x31=84.8元 第一种方案成本：1.2x20+2x30=84元 第三种方案最省钱
11、园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

解：（1）设A种造型X个，则B种造型为（50-X）个
80X+50*（50-X）≤3490 解得30X≤990(X≤33)
40X+90*（50-X）≤2950 解得50X≥1550(X≥31) 所以X=31,32,33
这3种搭配是①A=31个 B=19个 ② A=32个 B=18个 ③A=33个 B=17个
（2）设总费用为y，A种造型X个，则B种造型为（50-X）
Y=800x+960(50--x) y=48000-160x
即总费用随x的增大而减少。所以当x=33时所以成本最低，最低成本为 33×800+17×960=42720（元）