lim(x趋向于0)(e^x2+cosx-1)^(1⼀x2)

2024-12-28 12:35:53

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回答1：

这是一个1^无穷的极限
(e^x2+cosx-1)^(1/x2)=e^(ln（e^x2+cosx-1))/x2
所以lim(x→0)(e^x2+cosx-1)^(1/x2)
=lim(x→0)e^(ln（e^x2+cosx-1))/x2
=e^lim(x→0）(ln（e^x2+cosx-1))/x2
=e^lim(x→0）（xe^x-sinx)/x（e^x2+cosx-1） (洛必达法则)
=e^lim(x→0）（e^x+xe^x-cosx)/（（e^x2+cosx-1）+x（2xe^x-sinx））(洛必达法则)
=e^0=1

回答2：

设y=(e^x2+cosx-1)^(1/x2)

则limlny=lim(ln(e^x2+cosx-1))/x^2
=lim(2xe^x2-sinx)/(2x(e^x2+cosx-1)) [分子分母分别求导]
=lim(2e^x2+2x()-cosx)/(2(e^x2+cosx-1)+2x()) [再次分子分母分别求导]
=1/2，即limy=e^(1/2)

利用两次洛必达法则解决问题