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求微分方程dy⼀dx=[x(1+y^2)]⼀[(1+x^2)y]满足初始条件y|(x=0)=1的特解

2024-11-25 04:07:48

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回答1：

分离变量
dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)y]

把x，dx都挪到右边，y，dy挪到左边
ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)
两边积分
∫ydy/(1+y^2)=∫xdx/(1+x^2)

1/2∫d(1+y^2)/(1+y^2)=1/2∫d(1+x^2)/(1+x^2)
ln|1+y^2|=ln|1+x^2|+C'
e^ln(1+y^2)=e^[ln(1+x^2)+C']=e^C'[e^ln(1+x^2)] (能去绝对值因为1+x^2>0,1+y^2>0)
1+y^2=C(1+x^2)
代入x=0,y=1
1+1=C(1+0)
C=2
1+y^2=2(1+x^2)
y^2=2x^2+1
因为y(0)=1>0
所以开方
y=根号(2x^2+1) (舍去-根号(2x^2+1)<0)
所以
y=根号(2x^2+1)