大学微积分的学习经验

学好微积分
1 重要性
西方分析权威R.柯朗说:"微积分,或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具.遗憾的是,微积分的教学方法有时流于机械,不能体现出这门学科乃是撼人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经历两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域,并且,只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止,这种奋斗就将继续不已."
微积分是人类智力的伟大结晶.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.恩格斯说:"在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里."有了微积分,人类才有能力把握运动和过程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果.从此,数学一下子走到了前台.数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了.
微积分已成为现代人的基本素养之一,微积分将教会你在运动和变化中把握世界,它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力.没有微积分很难理解现代社会正在发生的变化,很难跟上时代的脚步.
微积分使人类第一次有了如此强大的工具,它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.
微分学研究的是瞬间,如瞬时速度,瞬时变化率,都是瞬间的事情.而积分学研究的是整体的性质,如求体积,面积,质量和转动惯量等.解决实际问题需将微分学与积分学结合在一起.常常是这样,通过瞬间列出微分方程,然后借助积分求解,回到整体.
2 牛顿革命 牛顿把他的书定名为《自然哲学的数学原理》,目的在于向世人昭示他将 原理数学化的过程,即他构造了一种自然哲学,而不是一般的哲学.牛顿的《自然哲学的数学原理》,不仅在原理的发展上,在命题的证明和应用上是数学的,而且它在将数学应用于自然哲学上提出了富有意义的新方法.牛顿引出了四个革命:
数学革命.微积分整个地改变了数学研究的内容和方向,有了微积分人们才会处理运动和变化.由此,变量数学开始占统治地位.
科学革命.把数学应用于物理学与天文学上,引起了一场科学革命,并为其后的工业革命奠定了基础.世界面貌由此发生迅速而巨大的变化,世界政治格局也发生巨大变化.英国,一个处于世界边缘的小小岛国,居然成了世界上第一强国达200年之久.
牛顿革命也存在一种巨大的意识形态成分.1980年,Berlin,Isaiah对牛顿的影响作了如下总结:
牛顿的思想影响是巨大的;不管这些思想是否被正确地理解.整个启蒙运动的纲领(尤其是在法国)是自觉地建立在牛顿的原理和方法的基础上的.并且从牛顿的辉煌成就派生出启蒙运动的信心及其广泛的影响.这后来转变为—的确,大大地创造了—西方现代文化.道德,政治,技术,历史,社会等等的某些中心概念和发展方向,没有哪一个思想和生活领域能够逃脱这种文化转变的影响.
在哲学上引出了"决定论"的世界观.那就是,大自然有规律,我们能够发现它们.对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯.在他的《概率的哲学导论》中,他雄辩地指出,"假设有一位智者,在任意给定的时刻,他都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置,假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析,他就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中,那么,对这样的智者来说,没有什么是不能确定的,未来同过去一样都历历在目".这一世界观直到混沌学诞生之后才得以打破.
促使微积分产生的主要因素
当代著名数学家哈尔莫斯说,问题是数学的心脏.那么促使微积分产生的主要问题是什么呢 微积分的创立首先是为了处理下列四类问题.
1)已知物体运动的路程与时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来,已知物体运动的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与路程.
困难在于17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离.但对瞬时速度,运动的距离和时间都是0,这就碰到了0/0的问题.这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题.
2)求曲线的切线.这是一个纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义.例如在光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的切线问题.运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向.
实际上,'切线'本身的意义也是没有解决的问题.对于圆锥曲线,把切线定义为和曲线只接触一点而且位于曲线一边的直线就足够了;这个定义古希腊人已经知道.但是对于17世纪所用的比较复杂的曲线,它就不适用了.怎样定义切线,怎样求出切线?这是新时代面临的问题.
3)求函数的最大值和最小值问题.在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题.在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离问题.在光学中这涉及到光线沿什么路线传播的问题.自然界中存在许多这样的问题等待解决.
4) 求积问题.求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积,物体的重心等.这些问题在古希腊已开始研究,但他们的方法缺乏一般性.人们期待着一般方法的出现.
4 记忆与思考
学习任何学科都会碰到记忆与思考的问题,学习微积分也不例外.记忆的功能在于积累基本知识,思考的功能在于将知识系统化,两者是相辅相成的.应当在思考的基础上记基本的.微积分中要牢牢记住的是,基本初等函数导数表和基本初等函数积分表.要像记九九表一样把它们记住.其他基本定理的记忆要借助几何意义,物理意义与前后联系,而不要死记硬背.
5 基本概念
常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分.
函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是狄里克雷.并且给出了一个不能画出图形的函数,即狄里克雷函数.狄里克雷的定义使函数概念摆脱了公式的束缚是函数概念现代化进程中重要的一步.
极限概念描述函数在一定变化过程中的终极状态.朴素的,直观的极限思想在古代已经诞生.随着微积分的诞生,对极限概念的要求越来越高.但牛顿,莱布尼兹的极限概念是模糊的.到19世纪,当数学家们转向微积分基础的重建是,极限概念才置于严密的理论基础之上.现在使用的定义是柯西和魏尔斯特拉斯给出的.在柯西的基础上,魏尔斯特拉斯创造了 语言.这种语言实质上是将动态过程静态化,就像电影与它的胶片的关系.
极限概念要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾.圆周率的计算史清楚地说明了这一点.面积,体积,弧长以及质量,转动惯量等的计算都涉及到近似与精确的处理.导数,微分和定积分所解决的问题都是一种特殊的极限问题,都是要解决近似与精确的矛盾的.因而从这个意义上讲,微积分是逼近的学问.相对而言,代数是归纳的学问.代数定理的证明多用归纳法.
6 基本运算 微积分最基础的运算是,四则运算,函数的复合运算与极限运算.函数的复合运算是新运算,从基本初等函数出发,借助复合运算与四则运算产生全部初等函数.极限运算引申出求导,求微分和求积分的运算.极限运算是初等数学与高等数学的分水岭,它使求导运算和积分运算回归到四则运算.
微分法则中最重要的是锁链法则:1)它解决了全部初等函数的求导问题;2)隐函数与反函数求导法是它的推论;3)引出一阶微分形式不变性,免除了自变量与因变量的区别,而获得了极大自由.4)一阶微分形式不变性构成积分学中换元积分法的基础.
微积分的基础 微积分是关于函数的学问.一元微积分中的任何函数都含有两个变量,一个是自变量,一个是因变量.不管是自变量,还是因变量都取实数值.因而,微积分是建立的实数论的基础上的,而且它涉及到一切形式的实数:整数,有理数与无理数等.所以,人们必须弄清实数的结构和性质,才能放心大胆地使用它们.这就是说,对微积分而言,建立实数理论是必要的.但事实上并不如此,数学家们先是糊里糊涂地用,直到出了问题才想到去建立实数理论.实数理论是在19世纪后期建立的,有了实数论微积分就有了严密的基础.大家知道,由有理数构成的序列,它的极限不一定是有理数.人们自然会问,由实数组成的序列,它的极限一定是实数吗?这就是实数论所研究的一个重要问题.答案是,实数序列的极限一定是实数.这件事为什么重要?理由是明显的.导数和定积分都是用极限定义的,这些极限存在吗?它们是实数吗?微积分没有回答这个问题.如果它们的极限不存在,或者存在而不是实数,微积分不就变成空中楼阁了吗?所以这个问题是至关重要的问题.
8定理 数学是解决问题的艺术.与其他科学家不同的是,数学家有一个专门名词来表达他们对某个问题的解决—那就是定理.如何学好定理?我们提出五个怎样:怎样发现定理;怎样证明定理;怎样理解定理;怎样应用定理;怎样推广定理.如果你能够从这五方面考察一个定理,你就会对定理有一个较为全面的理解.
微积分中的主要定理都有明显的几何意义,或物理意义.学习这些定理一定要结合它们的实际背景,方能学得深.
在微积分中什么定理最重要?答案是,微积分基本定理.它相当于数论中的算术基本定理,与代数中的代数基本定理.微积分基本定理的发现终于将微分学与积分学这两大分支连成一个整体.
在函数部分,一个需要强调的重要定理是反函数存在定理.有了反函数存在定理,就可以从指数函数出发去定义对数函数,从三角函数出发去定义反三角函数.可见,反函数存在定理是产生新函数的工具.
在极限理论中,有两个重要极限.它们分别是三角函数求导公式和对数函数求导公式的基础.
在微积分中有两个重要常数,即和.与指数函数和对数函数密切相关,而与面积和体积密切相关.
在微分学中,拉格朗日中值定理起着核心的作用,它是研究函数性质的主要工具,借助函数在一点的性质,表达了函数的某种整体性质.洛必达法则为求不定型极限提供了方便而有力的工具.
9 不合逻辑的发展 科学史和数学史都一再证明,任何研究工作的开端几乎都是很不完美的.在研究过程中充满了困惑和失误.微积分的发展也是这样.我们只讲几个重要的例子.
现在微积分的逻辑顺序是,函数,极限,导数,微分和定积分.逻辑次序井然有条,展现了一种和谐美.但在微积分诞生初期的二百年间,事情远非如此.牛顿时代,极限概念是模糊不清的,极限的地位也难以琢磨.牛顿和莱布尼兹都使用了无穷小,但他们的无穷小概念是前后矛盾的.在论证过程的开始,牛顿假定它不是0,而在论证的结尾,他又让它等于0.无穷大的概念也不清楚;它是一个数吗?如果是如何对它进行演算呢?这些问题他们都回答不了.直到柯西的出现,微积分才建立在极限的基础上.
再一个问题是连续函数与可微函数间的关系.微积分研究的对象就是连续函数和可微函数.直观上,连续函数可用一条不间断画出的连续曲线来表示.而导数几何意义就是曲线上任意一点处的切线的斜率.直观看来,除个别点外,一个连续函数应在每一点有导数.但这是错误的.魏尔斯特拉斯在1861年就已清楚,连续并不蕴涵可微.1872年他向柏林科学院提出了一个处处连续却处处不可微的函数的例子.这真是一声惊雷,打破了人们头脑中的根深蒂固的错误观点.事实上,包括当时的一流数学家高斯,傅里叶,柯西,伽罗华等都持有这种错误观点.荒唐的是,1806年安培(Andre-Marie Ampere)证明了一个定理:"任何函数在所有的连续点都有导数".不过,这不是他一个人的错误,在19世纪的几乎所有主要著作中都有这种证明.在这种背景下,你就不难理解魏尔斯特拉斯的例子给当时数学界的震动了.
魏尔斯特拉斯例子的意义在什么地方呢?人们对微积分的理解一直是靠运动,几何概念以及自己的直觉.但直觉并不可靠,魏尔斯特拉斯使微积分从几何与物理的束缚中解放了出来,成为一个真正的科学的严密体系.
魏尔斯特拉斯的例子没有早出现是微积分发展史上的一件幸事.法国著名数学家毕卡在1905年说过这样一段话:"如果牛顿和莱布尼兹知道了连续函数不一定可导,那么微分学将无法产生."的确,严密的思想可能阻碍数学的创造.
微分是与导数同等重要的概念.这个概念在牛顿和莱布尼兹头脑中也不清楚的.微分在他们心目中是无穷小,但无穷小是什么?他们说不清楚.莱布尼兹又用微分去定义导数.直到柯西这种逻辑上的错误关系才得以纠正.柯西借助导数来定义微分,把微分定义为函数改变量的线性主要部分.这样微分概念才变得严谨.
微积分的逻辑关系终于清楚了.

多做题掌握常用公式，把做过题用到的公式怎么用的公式都记下来，多练就好了，熟能生巧！

认真听课，不玩手机，完成作业，这就够了。