证明((n+1)⼀3)的n次方小于n!

2024-11-25 16:30:24

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回答1：

证明：改写((n+1)/3)^n(1+1/n)^n
我们用数学归纳法证明：n!(3/n)^n>e
当n=1时，3>e，结论成立。
设结论在n=k时成立，即：k!(3/k)^k>e
当n=k+1时，（k+1)!(3/(k+1))^(k+1)=k!(3^(k+1)/(k+1)^k
=k!(3/k)^k*(3/(1+1/k)^k)>e(3/(1+1/k)^k)>e ((1+1/k)^k故对一切n,有n!(3/n)^n>e>(1+1/n)^n. 证毕

回答2：

我的建议是用Stirling formula，然后当n>10时不等式成立，对于N<=10可用Mathematica等数学软件直接验证